Gravitação: As leis de Kepler e a lei da gravitação universal

Paulo Augusto Bisquolo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação Paulo Augusto Bisquolo é professor de física do colégio COC-Santos (SP).

Ao contrário do que pensavam Aristóteles e Ptolomeu, a Terra não se encontra parada no centro do sistema solar. Está em movimento em torno do Sol, junto com mais oito planetas. Esse movimento planetário é descrito por leis que foram desenvolvidas no decorrer da história devido às contribuições de diversos cientistas, como Copérnico e Galileu, e na física clássica foram concluídas pelos trabalhos de Kepler e Newton.

As leis de Kepler

O alemão Johannes Kepler (1571-1630) enunciou três leis que descrevem o movimento dos planetas no sistema solar, mas sabe-se agora que essas leis são válidas para qualquer sistema planetário. Elas são conhecidas como a lei das órbitas, a lei das áreas e a lei dos períodos.

A lei das órbitas

A lei das órbitas descreve a trajetória de um planeta que está orbitando uma estrela. Ela pode ser enunciada da seguinte forma:

Todos os planetas se movem em trajetórias elípticas, estando o Sol localizado em um dos focos da elipse.

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A Terra tem a sua trajetória elíptica. Porém, como os focos dessa trajetória estão muito próximos, sua órbita é praticamente circular. Cabe salientar que a circunferência é uma elipse onde os dois focos coincidem.

A lei das áreas

Considere um planeta em movimento em torno do Sol. Definiremos como raio vetor um vetor que tem como origem o Sol e extremidade apontando para o planeta em questão.

Com isso, a lei das áreas pode ser enunciada da seguinte forma:

No movimento de órbita do planeta, o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.

Uma consequência importante dessa lei é o fato de o planeta não percorrer a sua órbita com velocidade constante. Observe que A₁ e A₂ são iguais, mas as os arcos ab e cd não são. Se as áreas são percorridas em tempos iguais, então a velocidade média com que o planeta percorre o arco ab será maior que a velocidade média com que ele percorre o arco cd. Com isso, pode-se concluir que o planeta, quando se dirige ao periélio, ponto mais próximo do Sol, executa um movimento acelerado, mas quando se dirige ao afélio, ponto mais afastado do Sol, executa um movimento retardado.

A lei dos períodos

Considere dois planetas do sistema solar, como a Terra e Vênus. Esses dois planetas descrevem trajetórias quase circulares em torno do Sol e completam uma volta em um intervalo de tempo que chamado de ano do planeta, ou período de translação.

Kepler, nos seus estudos, determinou uma relação entre o período de translação e o raio médio da órbita dos planetas que constituem um sistema planetário. Essa relação é conhecida como a lei dos períodos, e pode ser enunciada da seguinte forma.

A razão entre os quadrados dos períodos de translação dos planetas e os cubos dos respectivos raios médios das órbitas é sempre constante.

Matematicamente, a lei dos períodos pode ser escrita da seguinte forma:

T2 R3 = K

Onde:

T = Período de translação dos planetas.
R = Raio médio das órbitas planetárias.
K = Uma constante que depende da massa do Sol.

Para o caso particular da Terra e de Vênus, se aplicarmos a lei dos períodos, teremos a seguinte relação matemática:

A lei da gravitação universal

Depois de ouvirmos tantas vezes que "Terra atrai a Lua", talvez você possa ter se perguntado por que a Lua não cai na Terra. Para entender a resposta dessa pergunta, faça a seguinte experiência de pensamento: imagine que você tem uma pedra na mão e a deixa cair. Ela descreverá uma trajetória vertical e para baixo. Depois, pegue a pedra, lance-a para frente e observe que ela descreverá uma trajetória parabólica, chegando ao solo alguns metros a frente.

Agora pense na possibilidade de poder lançá-la cada vez mais longe: o que aconteceria com essa pedra? É natural que ela continue caindo, já que é atraída pela Terra. Porém, dependendo da velocidade com que ela é lançada pode ocorrer algo muito curioso: a pedra pode entrar em um movimento de "queda eterna", que é conhecido como movimento de órbita.

A resposta da pergunta é essa: se a Lua executa um movimento orbital devido à atração que a Terra exerce sobre ela, isso quer dizer que a Lua está em movimento de queda, mas que nunca chegará atingir a Terra.

Isaac Newton formulou a lei que descreve essa força que, além de fazer os objetos caírem, faz os planetas e satélites permanecerem em órbita. Essa lei é conhecida como a lei da gravitação universal e ela parte de duas premissas:

• massa atrai massa;
• quanto mais afastados estiverem os corpos, menor será a intensidade dessa força.
  
  A explicação da segunda premissa foi objeto de muita discussão entre os pesquisadores da época, como Robert Hooke e Edmund Halley, mas o gênio criativo de Newton foi capaz de solucionar esse problema.
  
  Newton descobriu que a força de atração gravitacional era inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as massas, em outras palavras, quanto mais afastados estiverem os objetos, menor será a força de atração entre eles e essa força diminui rapidamente com o aumento da distância.
  
  Outro ponto importante da lei da gravitação universal é aquele que diz que massa pode atrair massa. Dessa afirmação pode vir a seguinte pergunta: "Se eu tenho massa, porque eu não estou atraindo outros corpos que também têm massa?". A resposta é que você está, sim, atraindo outros corpos que estão ao seu redor. Mas, como você tem uma massa pequena e os outros corpos também, essa força de atração se torna desprezível. Quando pelo menos um dos corpos tem uma massa considerável, como é o caso do planeta Terra, é possível sentir a força de atração gravitacional.
  
  A lei da gravitação universal de Newton é expressa matematicamente pela equação abaixo: