Usando Números muito Pequenos e Números muito Grandes

Escrevendo números muito pequenos
e números muito grandes: a notação científica

Leia o seguinte texto, em voz alta, e em menos de 30 segundos:

"...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 100000000000 metros. E isto é muito pequeno se comparado com o tamanho da Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100000000000000000000 metros de diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 100000000000000000000000000 metros de diâmetro, vemos que tamanhos assombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos, é melhor estudar biologia pois a molécula do DNA tem apenas 0,0000001 metros, muito mais fácil de lidar. O problema é que a astronomia não é uma profissão perigosa enquanto que a biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus que medem apenas 0,000000001 metros e são terrivelmente mortais. E se, por uma distração, um biólogo deixa um destes vírus cair no chão do laboratório? Nunca mais irá encontrá-lo!...."

Difícil ler estes números, não é? Vamos melhorar então o texto para você fazendo algumas modificações. Leia, novamente, em voz alta e em menos de 30 segundos:

"...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 100 bilhões de metros. E isto é muito pequeno se comparado com o tamanho da Galáxia onde vivemos com seus incríveis 100 milhões de trilhões de metros de diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 100 milhões de bilhões de bilhões de metros de diâmetro, vemos que tamanhos assombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos, é melhor estudar biologia pois a molécula do DNA tem apenas 1 décimo milionésimo do metro, muito mais fácil de lidar. O problema é que a astronomia não é uma profissão perigosa enquanto que a biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus que medem apenas 1 bilionésimo do metro e são terrivelmente mortais. E se, por uma distração, um biólogo deixa um destes vírus cair no chão do laboratório? Nunca mais irá encontrá-lo!...."

Melhorou um pouquinho, não? Mas, mesmo assim, ainda fica difícil comparar números com tantos zeros à direita ou à esquerda da vírgula, ou seja, com tantas casas decimais.

Para melhorar isto a ciência usa uma forma compacta de escrever números muito grandes ou muito pequenos, a chamada notação científica ou notação exponencial.

A notação científica ajuda a evitar erros quando escrevemos números muito grandes ou muito pequenos e facilita a comparação entre estes números.
Esta notação é muito usada nos artigos científicos uma vez que quantidades muito pequenas e muito grandes aparecem frequentemente na Astronomia e na Física.


Como é a notação científica?

A notação científica nada mais é do que escrever qualquer número, seja ele muito grande ou muito pequeno, como se ele estivesse multiplicado por uma potência de 10.

Todos os números, muito grandes ou muito pequenos, estarão multiplicados por um fator do tipo

10^?

No caso de números muito grandes o expoente "?" será um número positivo

No caso de números muito pequenos o expoente "?" será um número negativo

Vejamos alguns exemplos:


Números muito grandes

1^a regra:
Para escrever com a notação científica qualquer número seguido de muitos zeros basta contar somente o número de zeros que aparecem e colocar este valor como expoente de 10.

Os números agora são lidos facilmente. Por exemplo, 10²⁷ é lido como "dez elevado a 27" ou simplesmente "10 a 27".

É bom relembrar que 1 = 10⁰ pois todo número elevado a zero é igual a 1.

E se o número for, por exemplo, 17400 ?
Seguindo a regra anterior, escrevemos o número 17400 como 174 x 10². No entanto, podemos escrevê-lo de diversas outras formas usando as potências de 10.

2^a regra:
A notação científica pode separar um número em duas partes: uma fração decimal, usualmente entre 1 e 10, e uma potencia de 10.

No número dado coloque a vírgula onde você desejar. O número de algarismos deixados no lado direito da vírgula será o expoente de 10. Deste modo podemos escrever o número de muitas formas. Por exemplo:
17400 = 1,74 x 10⁴
17400 = 17,4 x 10³
17400 = 174 x 10²

Do mesmo modo, um número que já está escrito na notação científica pode ser alterado muito fácilmente. Por exemplo, o número 174 x 10² pode ser escrito como 1,74 x 10⁴. Para isto verificamos que agora passamos a ter dois algarismos no lado direito da vírgula (o sete e o quatro) e, consequentemente, acrescentamos o valor "dois" ao expoente anterior de 10, que passa a ser quatro. O número 1,74 x 10⁴ significa 1,74 vezes 10 elevado à quarta potência ou seja, 1,74 x 10 x 10 x 10 x 10 =17400.


Números muito pequenos

Para representar números muito pequenos a notação científica usa expoentes negativos.
Um sinal negativo no expoente de um número significa que o número é, na verdade, 1 dividido pelo valor que ele teria considerando-se o expoente positivo.
Assim
10^-2 = 1/10²
10^-28 = 1/10²⁸

Regra:
Para escrever um número muito pequeno usando a notação científica contamos o número de algarismos situados no lado direito da vírgula, sejam eles zeros ou não. Este será o valor do expoente de 10 antecedido por um sinal negativo.

E para escrever um número qualquer? Por exemplo, o número 0,0000000478. Contando o número de algarismos à direita da vírgula vemos que existem 10 algarismos. Podemos então escrever este número como 478 x 10^-10.

Podemos também escrever este número de várias outras formas colocando sua parte significativa (no exemplo acima, o número 478) em uma forma fracionária. Para determinar o valor do expoente negativo, coloque uma vírgula imaginária no local que você desejar e conte o número de algarismos que se encontram entre as duas vírgulas. Este será o expoente (negativo) de 10. Veja o exemplo a seguir:

Temos duas outras regras também muito fáceis:

Regra 1
se um número está escrito na notação científica cada vez que a vírgula se desloca uma casa para a direita, o expoente de 10 aumenta uma unidade.

0,000478 = 0,00478 x 10^-1
0,000478 = 0,0478 x 10^-2
0,000478 = 0,478 x 10^-3
0,000478 = 4,78 x 10^-4
0,000478 = 47,8 x 10^-5
0,000478 = 478 x 10^-6
etc.

Regra 2
se um número está escrito na notação científica cada vez que a vírgula se desloca uma casa para a esquerda, o expoente de 10 diminui uma unidade.

0,000478 = 478 x 10^-6
0,000478 = 47,8 x 10^-5
0,000478 = 4,78 x 10^-4
0,000478 = 0,478 x 10^-3
0,000478 = 0,0478 x 10^-2
0,000478 = 0,00478 x 10^-1
etc.


Comparando potências de 10

Primeira regra:
Se os expoentes são positivos, o maior número será o que tiver o maior expoente.
10⁷⁵ é menor do que 10⁷⁶ (porque 75 é menor do que 76)

Segunda regra:
Se os expoentes são negativos, o maior número será aquele com o menor valor numérico como expoente (sem considerar o sinal).
10^-75 é maior do que 10^-76 (o expoente negativo menor significa que o número tem menos "zeros" depois da vírgula, ou seja, ele está mais "próximo" da unidade.

Voltemos agora, novamente, ao nosso texto inicial desta vez escrito com a notação científica:

"...como, por exemplo, o nosso Sistema Solar que tem um diâmetro aproximado de 1011 metros. E isto é muito pequeno se comparado com o tamanho da Galáxia onde vivemos com seus incríveis 1020 metros de diâmetro. No entanto, ao lembrarmos que o Universo visível deve ter cerca de 1026 metros de diâmetro, vemos que tamanhos assombrosos estão incluídos no estudo da Astronomia. Daí pensamos, é melhor estudar biologia pois a molécula do DNA tem apenas 10-7 metros, muito mais fácil de lidar. O problema é que a astronomia não é uma profissão perigosa enquanto que a biologia... Imagine que os biólogos têm a coragem de lidar com vírus que medem apenas 10-9 metros e são terrivelmente mortais. E se, por uma distração, um biólogo deixa um destes vírus cair no chão do laboratório? Nunca mais irá encontrá-lo!...."

Muito mais simples, não é? Com certeza você conseguiu lê-lo em menos de 30 segundos e teve muito mais facilidade em comparar os tamanhos pois bastou comparar os expoentes de 10.

TRABALHOS

OBRA E VIDA 2016
PERSONALIDADE	TRABALHO
1.    ISAAC NEWTON	1º Bimestre
2.    KEPLER	1º Bimestre
3.    LORD KELVIN	2º Bimestre
4.   ARQUIMEDES	2º Bimestre
5.    THOMAS EDISON	3º Bimestre
6.    NICOLA TESLAN	3º Bimestre
7.    ALBERT EINSTEIN	4º Bimestre
8.    STEPHEN  HAWKING	4º Bimestre

Gravitação: As leis de Kepler e a lei da gravitação universal

Paulo Augusto Bisquolo, Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação Paulo Augusto Bisquolo é professor de física do colégio COC-Santos (SP).

Ao contrário do que pensavam Aristóteles e Ptolomeu, a Terra não se encontra parada no centro do sistema solar. Está em movimento em torno do Sol, junto com mais oito planetas. Esse movimento planetário é descrito por leis que foram desenvolvidas no decorrer da história devido às contribuições de diversos cientistas, como Copérnico e Galileu, e na física clássica foram concluídas pelos trabalhos de Kepler e Newton.

As leis de Kepler

O alemão Johannes Kepler (1571-1630) enunciou três leis que descrevem o movimento dos planetas no sistema solar, mas sabe-se agora que essas leis são válidas para qualquer sistema planetário. Elas são conhecidas como a lei das órbitas, a lei das áreas e a lei dos períodos.

A lei das órbitas

A lei das órbitas descreve a trajetória de um planeta que está orbitando uma estrela. Ela pode ser enunciada da seguinte forma:

Todos os planetas se movem em trajetórias elípticas, estando o Sol localizado em um dos focos da elipse.

• 
  

A Terra tem a sua trajetória elíptica. Porém, como os focos dessa trajetória estão muito próximos, sua órbita é praticamente circular. Cabe salientar que a circunferência é uma elipse onde os dois focos coincidem.

A lei das áreas

Considere um planeta em movimento em torno do Sol. Definiremos como raio vetor um vetor que tem como origem o Sol e extremidade apontando para o planeta em questão.

Com isso, a lei das áreas pode ser enunciada da seguinte forma:

No movimento de órbita do planeta, o raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais.

Uma consequência importante dessa lei é o fato de o planeta não percorrer a sua órbita com velocidade constante. Observe que A₁ e A₂ são iguais, mas as os arcos ab e cd não são. Se as áreas são percorridas em tempos iguais, então a velocidade média com que o planeta percorre o arco ab será maior que a velocidade média com que ele percorre o arco cd. Com isso, pode-se concluir que o planeta, quando se dirige ao periélio, ponto mais próximo do Sol, executa um movimento acelerado, mas quando se dirige ao afélio, ponto mais afastado do Sol, executa um movimento retardado.

A lei dos períodos

Considere dois planetas do sistema solar, como a Terra e Vênus. Esses dois planetas descrevem trajetórias quase circulares em torno do Sol e completam uma volta em um intervalo de tempo que chamado de ano do planeta, ou período de translação.

Kepler, nos seus estudos, determinou uma relação entre o período de translação e o raio médio da órbita dos planetas que constituem um sistema planetário. Essa relação é conhecida como a lei dos períodos, e pode ser enunciada da seguinte forma.

A razão entre os quadrados dos períodos de translação dos planetas e os cubos dos respectivos raios médios das órbitas é sempre constante.

Matematicamente, a lei dos períodos pode ser escrita da seguinte forma:

T2 R3 = K

Onde:

T = Período de translação dos planetas.
R = Raio médio das órbitas planetárias.
K = Uma constante que depende da massa do Sol.

Para o caso particular da Terra e de Vênus, se aplicarmos a lei dos períodos, teremos a seguinte relação matemática:

A lei da gravitação universal

Depois de ouvirmos tantas vezes que "Terra atrai a Lua", talvez você possa ter se perguntado por que a Lua não cai na Terra. Para entender a resposta dessa pergunta, faça a seguinte experiência de pensamento: imagine que você tem uma pedra na mão e a deixa cair. Ela descreverá uma trajetória vertical e para baixo. Depois, pegue a pedra, lance-a para frente e observe que ela descreverá uma trajetória parabólica, chegando ao solo alguns metros a frente.

Agora pense na possibilidade de poder lançá-la cada vez mais longe: o que aconteceria com essa pedra? É natural que ela continue caindo, já que é atraída pela Terra. Porém, dependendo da velocidade com que ela é lançada pode ocorrer algo muito curioso: a pedra pode entrar em um movimento de "queda eterna", que é conhecido como movimento de órbita.

A resposta da pergunta é essa: se a Lua executa um movimento orbital devido à atração que a Terra exerce sobre ela, isso quer dizer que a Lua está em movimento de queda, mas que nunca chegará atingir a Terra.

Isaac Newton formulou a lei que descreve essa força que, além de fazer os objetos caírem, faz os planetas e satélites permanecerem em órbita. Essa lei é conhecida como a lei da gravitação universal e ela parte de duas premissas:

• massa atrai massa;
• quanto mais afastados estiverem os corpos, menor será a intensidade dessa força.
  
  A explicação da segunda premissa foi objeto de muita discussão entre os pesquisadores da época, como Robert Hooke e Edmund Halley, mas o gênio criativo de Newton foi capaz de solucionar esse problema.
  
  Newton descobriu que a força de atração gravitacional era inversamente proporcional ao quadrado da distância entre as massas, em outras palavras, quanto mais afastados estiverem os objetos, menor será a força de atração entre eles e essa força diminui rapidamente com o aumento da distância.
  
  Outro ponto importante da lei da gravitação universal é aquele que diz que massa pode atrair massa. Dessa afirmação pode vir a seguinte pergunta: "Se eu tenho massa, porque eu não estou atraindo outros corpos que também têm massa?". A resposta é que você está, sim, atraindo outros corpos que estão ao seu redor. Mas, como você tem uma massa pequena e os outros corpos também, essa força de atração se torna desprezível. Quando pelo menos um dos corpos tem uma massa considerável, como é o caso do planeta Terra, é possível sentir a força de atração gravitacional.
  
  A lei da gravitação universal de Newton é expressa matematicamente pela equação abaixo: